Константин Скробанский окончил Военно-Медицинскую академию в 1898 году, после чего работал в акушерско-гинекологической клинике под руководством академика Георгия Рейна. В 1901 году Константин Клементьевич защитил диссертацию на тему «К вопросу о заживлении некоторых ранений яичника», получив звание доктора медицины. Последующие два года он работал в лабораториях и клиниках Германии.
В 1905 году Скробанский стал приват-доцентом, также работал в хирургическом отделении больницы Марии Магдалины, заведовал ХV городским родильным приютом. В 1912 году — был избран профессором в Санкт-Петербургский женский медицинский институт (в дальнейшем Первый Ленинградский медицинский институт, ныне - Первый Санкт-Петербургский государственный медицинский университет имени академика И. П. Павлова). С 1921 по 1928 год Константин Клементьевич был директором данного учебного заведения.
В дальнейшем Скробанский совмещал педагогическую деятельность на кафедре с работой в Институте охраны материнства и младенчества (впоследствии Ленинградском педиатрическом медицинском институте). Он руководил акушерско-гинекологической клиникой, затем стал профессором кафедры акушерства и гинекологии. Константин Скробанский консультировал строительство акушерско-гинекологического корпуса на 245 коек на территории института, который начал функционировать перед войной.
Кафедра имела в штате 7 сотрудников: доцентов Павла Андреевича Белошапко (впоследствии профессор, директор Института акушерства и гинекологии им. Д. О. Отта), Исая Исаковича Богорова (впоследствии профессор, зав. кафедрой акушерства и гинекологии ЛПМИ с 1946 по 1953 год) и четырех ассистентов. Работники кафедры вели учебный процесс со студентами ЛПМИ на 4-5 курсах, курсы усовершенствования врачей (3 месяца) и курсы повышения квалификации акушерок Ленинграда и области.
Научные направления кафедры в те годы - физиология и патология беременности и родов, обезболивание родов, поздний токсикоз беременных. Врач клинической больницы Дмитрий Павлович Бровкин предложил «Диуретический способ лечения эклампсии», применяемый и в наше время, известный как «Схема введения сернокислого магния по Бровкину». Сотрудники кафедры подготовили 5 диссертаций, 130 научных работ, 7 руководств и методических пособий. Среди большого числа научных трудов следует выделить учебники по акушерству и гинекологии под редакцией Скробанского, издававшиеся 3 раза.
В дни блокады Константин Клементьевич оставался в Ленинграде, организовал на базе акушерского корпуса военный госпиталь, привлек к работе весь акушерский персонал и многим работникам сохранил жизнь. «Общежитие персонала было организовано в подвале, где было тепло, сухо, всегда была вода и, самое главное, рядом были товарищи по работе» (по рассказу акушерки О. И. Чуковой).
В 1944 году Константин Скробанский избран академиком АМН СССР.